Seminarios

Gerardo Barrera (Alberta)

Título:

Termalización abrupta para perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos

Abstract:

En este minicurso, estudiaremos el fenómeno de la convergencia abrupta (cut–off) a su medida invariante. Este fenómeno es notado por Diaconis, Aldous et al en los modelos Markovianos de barajamiendo de cartas. Nuestro modelo será una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con un único punto fijo, el cual asumiremos es un atractor global. Agregamos una pequeña perturbación a esta ecuación y obtenemos un sistema dinámico aleatorio (SDA).

Si la perturbación es Gaussiana, bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Gaussiana con desviación estándar proporcional a la perturbación. Más aún, para cada perturbación fija, la convergencia de la distribución del SDA a su distribución de equilibrio es exponencialmente rápida. En este caso demostraremos que la convergencia es abrupta: en una ventana de tiempo pequeña comparada con el escala natural del proceso, la distancia al equilibrio cae desde su máximo valor posible a cerca de cero, y solo después de esa ventana de tiempo la convergencia es exponencialmente rápida. Esto es conocido en el contexto de Cadenas de Markov como el fenómeno de cut–off. Cuando el punto fijo de la EDO no es hiperbólico, demostraremos que no tenemos el fenómeno de cut–off. (Este es un trabajo conjunto con Milton Jara).

Por otro lado cuando la perturbación es una proceso de Lévy, nuevamente bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Q–descomponible. Como toy model estudiaremos el proceso de Ornstein–Uhlenbeck dirigido por un proceso de Lévy. Bajo condiciones de log–integrabilidad en la medida de Lévy, tendremos que el SDA posee una única distribución de equilibrio. Asumiendo la condición de Orey–Masuda tendremos regularidad en la distribuciones al tiempo 0 < t ≤ ∞ y esto nos permitirá probar el fenómeno de cut–off en la distancia de variación total. El tiempo de cut–off y la ventana de cut–off solo dependen de la parte deterministica del SDA. (Este es un trabajo conjunto con Juan Carlos Pardo).

Asumiendo que tenemos momentos en la medida de Lévy, el fenómeno continua siendo cierto. (Este es un trabajo en progreso con Juan Carlos Pardo y Michael Hoegele).

ago / 2018 22

Otávio Menezes

Título:

TBA

Abstract:

TBA

ago / 2018 07

Mauricio Duarte (UAB)

Título:

Hard balls collisions

Abstract:

We will explore the behavior of systems of a large number of hard balls under elastic collisions. We prove by example that the  number of elastic collisions of $n$ balls
of equal mass and equal size in $d$-dimensional space can be greater than $n^3/27$ for $n\geq 3$ and $d\geq 2$. The previously known lower bound was of order $n^2$.

jun / 2018 19

Roberto Cortez

Título:

Particle systems and propagation of chaos for some kinetic models

Abstract:

In this talk we will make a quick historical review of some equations arising in the classical kinetic theory of gases and related models. We will start with the Boltzmann equation, which describes the evolution of the distribution of positions and velocities of infinitely many small particles of a gas in 3-dimensional space, subjected to elastic binary collisions. We consider a finite $N$-particle system and introduce the important concept of propagation of chaos: the convergence, as $N\to\infty$ and for each time $t\geq 0$, of the distribution of the particles towards the solution of the equation. We present some recent quantitative propagation of chaos results for the spatially homogeneous Boltzmann equation and Kac’s model. Lastly, we will introduce a relatively new class of one-dimensional kinetic equations modelling wealth redistribution in a population performing binary trades. When trades preserve wealth only on average, these models can exhibit an equilibrium distribution with heavy tails, as is seen in real-world economies. We focus on the corresponding finite $N$-particle system and study how the heaviness of the tails of its distribution relates to that of the limit kinetic equation. Unless wealth is preserved exactly in each trade, we find important qualitative differences between both cases.

jun / 2018 12

Remy Sanchis

Título:

A non-trivial bound for the critical threshold of a percolation model with columnar disorder.

Abstract:

A random perturbation with a tunable parameter in a regular media can sometimes produce a disruption on macroscopic observables. In this talk, we study a percolation model on a random lattice that features such a disruption. More specifically, we show that the Bernoulli percolation in a 3D lattice with columns randomly deleted has a uniform non-trivial threshold. In the course of the proof, we have to understand some geometrical properties of the supercritical 2D cluster. Joint work with M.V Sá and M.R. Hilário.

may / 2018 29
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