Seminarios

Gerardo Barrera (Alberta)

Título:

termalización abrupta para perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos

Abstract:

En este minicurso, estudiaremos el fenómeno de la convergencia abrupta (cut–off) a su medida invariante. Este fenómeno es notado por Diaconis, Aldous et al en los modelos Markovianos de barajamiendo de cartas. Nuestro modelo será una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con un único punto fijo, el cual asumiremos es un atractor global. Agregamos una pequeña perturbación a esta ecuación y obtenemos un sistema dinámico aleatorio (SDA).

Si la perturbación es Gaussiana, bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Gaussiana con desviación estándar proporcional a la perturbación. Más aún, para cada perturbación fija, la convergencia de la distribución del SDA a su distribución de equilibrio es exponencialmente rápida. En este caso demostraremos que la convergencia es abrupta: en una ventana de tiempo pequeña comparada con el escala natural del proceso, la distancia al equilibrio cae desde su máximo valor posible a cerca de cero, y solo después de esa ventana de tiempo la convergencia es exponencialmente rápida. Esto es conocido en el contexto de Cadenas de Markov como el fenómeno de cut–off. Cuando el punto fijo de la EDO no es hiperbólico, demostraremos que no tenemos el fenómeno de cut–off. (Este es un trabajo conjunto con Milton Jara).

Por otro lado cuando la perturbación es una proceso de Lévy, nuevamente bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Q–descomponible. Como toy model estudiaremos el proceso de Ornstein–Uhlenbeck dirigido por un proceso de Lévy. Bajo condiciones de log–integrabilidad en la medida de Lévy, tendremos que el SDA posee una única distribución de equilibrio. Asumiendo la condición de Orey–Masuda tendremos regularidad en la distribuciones al tiempo 0 < t ≤ ∞ y esto nos permitirá probar el fenómeno de cut–off en la distancia de variación total. El tiempo de cut–off y la ventana de cut–off solo dependen de la parte deterministica del SDA. (Este es un trabajo conjunto con Juan Carlos Pardo).

Asumiendo que tenemos momentos en la medida de Lévy, el fenómeno continua siendo cierto. (Este es un trabajo en progreso con Juan Carlos Pardo y Michael Hoegele).

Aug / 2018 29

Gerardo Barrera (Alberta)

Título:

Termalización abrupta para perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos

Abstract:

En este minicurso, estudiaremos el fenómeno de la convergencia abrupta (cut–off) a su medida invariante. Este fenómeno es notado por Diaconis, Aldous et al en los modelos Markovianos de barajamiendo de cartas. Nuestro modelo será una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con un único punto fijo, el cual asumiremos es un atractor global. Agregamos una pequeña perturbación a esta ecuación y obtenemos un sistema dinámico aleatorio (SDA).

Si la perturbación es Gaussiana, bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Gaussiana con desviación estándar proporcional a la perturbación. Más aún, para cada perturbación fija, la convergencia de la distribución del SDA a su distribución de equilibrio es exponencialmente rápida. En este caso demostraremos que la convergencia es abrupta: en una ventana de tiempo pequeña comparada con el escala natural del proceso, la distancia al equilibrio cae desde su máximo valor posible a cerca de cero, y solo después de esa ventana de tiempo la convergencia es exponencialmente rápida. Esto es conocido en el contexto de Cadenas de Markov como el fenómeno de cut–off. Cuando el punto fijo de la EDO no es hiperbólico, demostraremos que no tenemos el fenómeno de cut–off. (Este es un trabajo conjunto con Milton Jara).

Por otro lado cuando la perturbación es una proceso de Lévy, nuevamente bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Q–descomponible. Como toy model estudiaremos el proceso de Ornstein–Uhlenbeck dirigido por un proceso de Lévy. Bajo condiciones de log–integrabilidad en la medida de Lévy, tendremos que el SDA posee una única distribución de equilibrio. Asumiendo la condición de Orey–Masuda tendremos regularidad en la distribuciones al tiempo 0 < t ≤ ∞ y esto nos permitirá probar el fenómeno de cut–off en la distancia de variación total. El tiempo de cut–off y la ventana de cut–off solo dependen de la parte deterministica del SDA. (Este es un trabajo conjunto con Juan Carlos Pardo).

Asumiendo que tenemos momentos en la medida de Lévy, el fenómeno continua siendo cierto. (Este es un trabajo en progreso con Juan Carlos Pardo y Michael Hoegele).

Aug / 2018 27

Gerardo Barrera (Alberta)

Título:

Termalización abrupta para perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos

Abstract:

En este minicurso, estudiaremos el fenómeno de la convergencia abrupta (cut–off) a su medida invariante. Este fenómeno es notado por Diaconis, Aldous et al en los modelos Markovianos de barajamiendo de cartas. Nuestro modelo será una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con un único punto fijo, el cual asumiremos es un atractor global. Agregamos una pequeña perturbación a esta ecuación y obtenemos un sistema dinámico aleatorio (SDA).

Si la perturbación es Gaussiana, bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Gaussiana con desviación estándar proporcional a la perturbación. Más aún, para cada perturbación fija, la convergencia de la distribución del SDA a su distribución de equilibrio es exponencialmente rápida. En este caso demostraremos que la convergencia es abrupta: en una ventana de tiempo pequeña comparada con el escala natural del proceso, la distancia al equilibrio cae desde su máximo valor posible a cerca de cero, y solo después de esa ventana de tiempo la convergencia es exponencialmente rápida. Esto es conocido en el contexto de Cadenas de Markov como el fenómeno de cut–off. Cuando el punto fijo de la EDO no es hiperbólico, demostraremos que no tenemos el fenómeno de cut–off. (Este es un trabajo conjunto con Milton Jara).

Por otro lado cuando la perturbación es una proceso de Lévy, nuevamente bajo condiciones generales el SDA converge a una única distribución de equilibrio y dicha distribución de equilibrio es bien aproximada por una distribución Q–descomponible. Como toy model estudiaremos el proceso de Ornstein–Uhlenbeck dirigido por un proceso de Lévy. Bajo condiciones de log–integrabilidad en la medida de Lévy, tendremos que el SDA posee una única distribución de equilibrio. Asumiendo la condición de Orey–Masuda tendremos regularidad en la distribuciones al tiempo 0 < t ≤ ∞ y esto nos permitirá probar el fenómeno de cut–off en la distancia de variación total. El tiempo de cut–off y la ventana de cut–off solo dependen de la parte deterministica del SDA. (Este es un trabajo conjunto con Juan Carlos Pardo).

Asumiendo que tenemos momentos en la medida de Lévy, el fenómeno continua siendo cierto. (Este es un trabajo en progreso con Juan Carlos Pardo y Michael Hoegele).

Aug / 2018 22

Otávio Menezes

Título:

TBA

Abstract:

TBA

Aug / 2018 07

Mauricio Duarte (UAB)

Título:

Hard balls collisions

Abstract:

We will explore the behavior of systems of a large number of hard balls under elastic collisions. We prove by example that the  number of elastic collisions of $n$ balls
of equal mass and equal size in $d$-dimensional space can be greater than $n^3/27$ for $n\geq 3$ and $d\geq 2$. The previously known lower bound was of order $n^2$.

Jun / 2018 19
Departamento de Matemáticas

Pontificia Universidad Católica de Chile (PUC-Chile)

Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul,

Santiago – Chile

(+56 2) 2354 5779

Centro de Modelamiento Matemático (CMM)

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (FCFM)

Universidad de Chile

Beauchef 851, Edificio Norte, Piso 7,

Santiago – Chile